Question

13．设k≥2，解关于x的方程x³+2kx²+（k²+1）x+k=0．

Answer 1

分析 将方程的左边分解因式为：（x+k）（x²+kx+1）=0，解出方程即可；注意当x²+kx+1=0时，先计算△的值，利用已知的k≥2，确定△≥0，解方程．

解答 解：x³+2kx²+（k²+1）x+k=0，
x³+2kx²+k²x+x+k=0，
x（x²+2kx+k²）+（x+k）=0，
x（x+k）²+（x+k）=0，
（x+k）[x（x+k）+1]=0，
（x+k）（x²+kx+1）=0，
x+k=0或x²+kx+1=0，
∴x₁=-k，
x²+kx+1=0，
△=k²-4，
∵k≥2，
∴△≥0，
∴x=$\frac{-k±\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$，
综上所述，原方程的解为：x₁=-k，x₂=$\frac{-k+\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$，x₃=$\frac{-k-\sqrt{{k}^{2}-4}}{2}$．

点评 本题是解高次方程，此类题都要对方程进行变形：因式分解或利用换元法；达到降次的目的，从而求出方程的解．