Question

18．点O、G分别是△ABC的外心和重心，若AG⊥OG，求$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 先延长AG交BC于D，取AG的中点E，连接OE，OA，OB，OC，过A作AF⊥BC于F，根据勾股定理得到AB²+AC²=$\frac{1}{2}$BC²+2AD²，OG²+OA²=$\frac{1}{2}$AG²+2OE²，再根据OA=OC，OE=OD，AG=$\frac{2}{3}$AD，得出2AD²=$\frac{3}{2}$BC²，进而得到AB²+AC²=$\frac{1}{2}$BC²+$\frac{3}{2}$BC²=2BC²，据此可得$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$的值．

解答 解：如图，延长AG交BC于D，则AD为△ABC的中线，G为AD的三等分点，
取AG的中点E，连接OE，OA，OB，OC，则OA=OB=OC，
由AG⊥OG，可得OE=OD，
如图，过A作AF⊥BC于F，则
AB²=AF²+BF²，AC²=AF²+CF²，AD²=AF²+DF²，
∴AB²+AC²=AF²+BF²+AF²+CF²
=2AF²+BF²+CF²
=2AF²+（BD+DF）²+（BD-DF）²
=2AF²+2BD²+2DF²
=2BD²+2AD²
=$\frac{1}{2}$BC²+2AD²，
在△AOG中，同理可得OG²+OA²=$\frac{1}{2}$AG²+2OE²，
又∵OA=OC，OE=OD，AG=$\frac{2}{3}$AD，
∴OG²+OA²=$\frac{2}{9}$AD²+2OD²，
即（OD²-DG²）+OA²=$\frac{2}{9}$AD²+2OD²，
又∵DG²=$\frac{1}{9}$AD²，
∴OA²=$\frac{1}{3}$AD²+OD²，
又∵OD²=OC²-CD²=OA²-CD²，
∴$\frac{1}{3}$AD²=CD²=$\frac{1}{4}$BC²，
即2AD²=$\frac{3}{2}$BC²，
又∵AB²+AC²=$\frac{1}{2}$BC²+2AD²，
∴AB²+AC²=$\frac{1}{2}$BC²+$\frac{3}{2}$BC²=2BC²，
∴$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=2．

点评 本题主要考查了三角形的重心以及外心的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据三角形中线定理进行推导计算．解题时注意：三角形两边平方的和等于所夹中线及第三边一半的平方和的2倍．