Question

1．如图所示，△ABC内有点O，AO的延长线交BC于点D，若S_△OBD=1，S_△ACO=25，那么△ABC面积的最小值为36．

Answer 1

分析 设S_△AOB=S₁，S_△COD=S₂，根据不同底等高的三角形的面积得出$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OA}$，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{△ACO}}$=$\frac{OD}{OA}$，从而求得S₁•S₂=25，因为S_△OBD=1，S_△ACO=25是固定的，所以S_△ABC的最小值，就是求S₁+S₂的最小值，故设S₁+S₂=b，把S₁，S₂作为一个二次函数的两根，得出关于x的二次函数y=x²-bx+25，根据二次函数的性质可知 b²-4ac=b²-4×25≥0，从而求得b的最小值，即可求得△ABC面积的最小值．

解答 设S_△AOB=S₁，S_△COD=S₂，
∵$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OA}$，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{△ACO}}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{{S}_{2}}{25}$，
∴S₁•S₂=25
因为S_△OBD=1，S_△ACO=25是固定的，
∴S_△ABC的最小值，就是求S₁+S₂的最小值，
设S₁+S₂=b，
将其作为一个二次函数的两根之和，两根之积，
则有关于x的二次函数y=x²-bx+25，
a＞0，开口向上，判别式 b²-4ac=b²-4×25≥0，
∴b≥10或b≤-10（舍去）
所以b=10
∴S_△ABC的最小值=10+1+25=36．

点评 本题考查了三角形的面积，根据不同底等高的三角形的面积得出$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{1}}$=$\frac{OD}{OA}$，$\frac{{S}_{2}}{{S}_{△ACO}}$=$\frac{OD}{OA}$，从而求得S₁•S₂=25，从而进一步得出二次函数是解题的关键．