Question

6．如图，已知一次函数y=-x+4的图象交x轴、y轴于点A、B，交反比例函数图象于点E，F，EC⊥x轴垂足为点C，且△AOE的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△EOF的面积．

Answer 1

分析 （1）先说明△AOB是等腰直角三角形，所以△AEC也是等腰直角三角形，根据y=-x+4求出OA的长，利用面积求高CE的长，写出点E的坐标，根据待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）点F是两函数的交点，则列方程组求解，只求出点F的横坐标即可；△EOF的面积等于S_△AOB-S_△BOF-S_△AOE，代入计算．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为：y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
y=-x+4，
当x=0时，y=4，则OB=4，
当y=0时，-x+4=0，x=4，则OA=4，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴△AEC也是等腰直角三角形，
∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•CE=1，
∴OA•CE=2，
∴4CE=2，CE=$\frac{1}{2}$，
∴CE=CA=$\frac{1}{2}$，
∴OC=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴E（$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴k=$\frac{7}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{4}$，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{7}{4x}$；
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{7}{4x}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{7}{2}$，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△BOF-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$-1，
=6．
则△EOF的面积为6．

点评 本题是一次函数与反比例函数的交点问题，具体作法是：先求两函数的解析式，列方程组解出，方程组的解即是交点坐标．