Question

13．如图，将矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=9，沿EF折叠，使点B落在DC边上点P处，点A落在点Q处，AD与PQ相交于点H．
（1）如图1，当点P为边DC的中点时，求EC的长；
（2）如图2，当∠CPE=30°，求EC、AF的长；
（3）如图2，在（2）条件下，求四边形EPHF的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知PC=3，由翻折的性质可知BE=PE，设EC=x，则PE=9-x，在Rt△PEC中，依据勾股定理列方程求解即可；
（2）依据含30°直角三角形的性质可知：EC=$\frac{1}{2}$PE，设EC=x，则EB=9-x，由翻折的性质可知EP=BE=9-x，列出关于x的方程可求得EC的长，然后利用特殊锐角三角函数值，可求得PC、PD、DH的长，然后设AF=y，由翻折的性质可知AF=QF=y，最后依据FQ=$\frac{1}{2}$FH列方程求解即可；
（3）连结EH，先求得FH和PH、PE的长，最后依据四边形FEPH的面积=△FHE的面积+△HPE的面积求解即可．

解答 解：（1）∵ABCD为矩形，
∴CD=AB=6．
∵P是DC的中点，
∴PC=3．
由翻折的性质可知BE=PE．
设EC=x，则PE=9-x．
在Rt△PEC中，依据勾股定理可知：PE²=EC²+PC²，即（9-x）²=x²+3²，解得：x=4，
∴EC=4．

（2）∵∠CPE=30°，∠C=90°，
∴EC=$\frac{1}{2}$PE．
设EC=x，则EB=9-x，由翻折的性质可知EP=BE=9-x．
∵EC=$\frac{1}{2}$PE，
∴x=$\frac{1}{2}$×（9-x）．
解得：x=3．
∴EC=3．
∴$\frac{EC}{PC}$=tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则CP=3$\sqrt{3}$．
∴DP=6-3$\sqrt{3}$．
∵∠EPH=90°，∠CPE=30°，
∴∠DPH=60°．
∴DH=$\sqrt{3}$DP=6$\sqrt{3}$-9．
∴AH=18-6$\sqrt{3}$．
设AF=y，由翻折的性质可知AF=QF=y，则FH=18-6$\sqrt{3}$-y．
∵∠QHF=30°，∠Q=90°，
∴QF=$\frac{1}{2}$FH．
∴y=$\frac{1}{2}$×（18-6$\sqrt{3}$-y），解得：y=6-2$\sqrt{3}$．
∴AF=6-2$\sqrt{3}$．

（3）如图所示：连结EH．

由（2）可知AF=6-2$\sqrt{3}$，
∴FH=18-6$\sqrt{3}$-（6-2$\sqrt{3}$）=12-4$\sqrt{3}$．
∵PH=2DP，EP=2EC，
∴PH=12-6$\sqrt{3}$，PE=6．
∴四边形FEPH的面积=△FHE的面积+△HPE的面积=$\frac{1}{2}$FH•AB+$\frac{1}{2}$HP•EP
=$\frac{1}{2}×$（12-4$\sqrt{3}$）×6+$\frac{1}{2}$×（12-6$\sqrt{3}$）×6=72-30$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、特殊锐角三角函数值、翻折的性质，解答本题的关键是利用特殊锐角三角函数值求得相关线段的长，同时连结HE将四边形的面积转为两个三角形的面积之和求解是解题的关键．