题目内容

1．下列命题正确的有（　　）
①对角线相等的菱形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④

分析 利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

解答 解：①对角线相等的菱形是正方形，正确；
②对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
④对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形，正确，
故选D．

点评 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解既是矩形又是菱形的四边形是正方形，难度不大．

练习册系列答案
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11．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF=2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（　　）
A．2B．4C．$\frac{8}{3}$D．$\frac{10}{3}$
12．矩形ABCD中，BC=3，AB=8，E、F为AB、CD边上的中点，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面上滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当B到达原点时停止运动．
（1）当t=0时，求点F的坐标及FA的长度；
（2）当t=4时，求OE的长及∠BAO的大小；
（3）求从t=0到t=4这一时段点E运动路线的长；
（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．
9．能说明命题“若0＜α＜90°，则2sinα≥1”是假命题，可以举的反例是（　　）
A．α=20°B．α=30°C．α=35°D．α=40°
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，过点D作BA的平行线交AC于点O，过点A作BC的平行线交DO的延长线于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）作出△ABC外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；
（3）若AO：BD=$\sqrt{3}$：2，求证：点E在△ABC的外接圆上．
6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=54，BC=72，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C开使沿边CB向点B运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，点P、Q同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当P、Q运动到某一位置时，四边形PDBQ恰好为菱形，①求出此时t的值；②求出点Q的运动速度；③连接DQ，求出此时DQ的长度．
（2）如图2，若DQ的延长线与AC的延长线交于点N，CN=8，CQ=10，求$\frac{AD}{BD}$的值．
13．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．

（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度2；
B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距离跨度2；
C（-3，-2）的距离跨度4；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是圆．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围-1≤xE≤2．
12．已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求（c+d）（c-d）+xy+$\frac{\sqrt{z}}{a}$的值．
13．（列方程解应用题）甲乙两地相距240千米，从甲站开出一列慢车，速度为每小时80千米，从乙站开出一列快车，速度为每小时120千米．
（1）若两车同时开出，背向而行，经过多长时间两车相距540千米？
（2）若两车同时开出，同向而行（快车在后）经过多长时间快车可追上慢车？

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