Question

【题目】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．

（1）利用尺规作出AC的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；

（2）设AC的垂直平分线分别与AB，AC，CD交于点E，O，F，求证：以A、E、C、F为顶点的四边形为菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用基本作图作AC的垂直平分线；

（2）连接AF、CE，如图，利用线段垂直平分线的性质得OA=OC，再利用平行线的性质得∠ACF=∠CAB，则可证明△AOE≌△COF得到OE=OF，然后根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形．

（1）解：如图，EF为所作；

（2）证明：连接AF、CE，如图，

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CF，

∴∠ACF＝∠CAB，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

即AC与EF互相垂直平分，

∴四边形AECF为菱形．