Question

16．如图，在锐角△ABC中，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DE=EF；②AD：AB=AE：AC；③△AEC∽△ADB；④AE+AD=BC，其中正确结论的序号是②③（写上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 由已知条件和直角三角形斜边上的中线性质得出EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，得出EF=DF，①不正确；
证明B、C、D、E四点共圆，由圆周角定理得出∠ADE=∠ABC，∠ABD=∠ACE，证出△ADE∽△ABC，得出AD：AB=AE：AC，②正确；
由相似三角形的判定方法得出△AEC∽△ADB，③正确；不能得出AE+AD=BC，即可得出结果．

解答 解：∵BD、CE为高，
∴∠BEC=∠AEC=∠BDC=∠BDA=90°，
∵F为BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=DF，①不正确；
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠ADE=∠ABC，∠ABD=∠ACE，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，②正确；
∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ADB，③正确；
不能得出AE+AD=BC，④不正确；
故答案为：②③．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握四点共圆，由圆周角定理得出三角形相似是解决问题的关键．