Question

6．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12$\sqrt{2}$
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF²=OE²+AF²；
（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，作CM⊥OA于点M，由等腰直角三角形的性质可以得出CM=OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，结合AB的长度即可得出点C的坐标；
（2）连接OC，在OB上截取OM=AF，连接CM、ME．通过证明△ACF≌△OCM得出“CM=CF，∠OCM=∠ACF”，再通过角的计算得出∠ECM=∠ECF=45°，从而△ECF与△ECM满足全等三角形的判定定理（SAS），即得出ME=EF，在Rt△MOE中，通过勾股定理即可得出结论；
（3）过点C作CN⊥OA于点N．设AF=x=OM，则EF=9-x=EM，在Rt△MOE中由勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，再由等腰直角三角形的性质可得出CN、NF的长，在Rt△CNF中结合勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）连接OC，作CM⊥OA于点M，如图1所示．

∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=12．
∵点C为线段AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴△OCA为等腰直角三角形，
又∵CM⊥OA，
∴CM=OM=MA=$\frac{1}{2}$OA=6．
故点C的坐标为（6，6）．
（2）证明：连接OC，在OB上截取OM=AF，连接CM、ME，如图2所示．

∵△AOB、△OCA、△OCB均为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=∠BOC=45°，OC=AC．
在△ACF和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=AF}\\{∠A=∠MOC}\\{OC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△OCM（SAS），
∴CM=CF，∠OCM=∠ACF．
∵∠ACO=∠ACF+∠ECF+∠OCE=90°，∠ECF=45°，
∴∠ACF+∠OCE=45°=∠OCM+∠OCE=∠ECM=∠ECF．
在△ECF和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{∠ECM=∠ECF=45°}\\{CM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECM（SAS），
∴ME=EF．
在Rt△MOE中，∠MOE=90°，
∴EF²=ME²=OE²+OM²=OE²+AF²．
（3）过点C作CN⊥OA于点N，如图3所示．

设AF=x=OM，则EF=OA-OE-AF=12-3-x=9-x=EM，
由（2）可得：（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，
∴OF=OA-AF=12-4=8．
∵△OCA为等腰直角三角形，
∴CN=ON=$\frac{1}{2}$OA=6，NF=OF-ON=8-6=2．
在Rt△CNF中，∠CNF=90°，CN=6，NF=2，
∴CF=$\sqrt{C{N}^{2}+N{F}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1）由等腰直角三角形的性质找出CM=OM=6；（2）根据全等三角形的性质找出ME=EF；（3）求出CN=6、NF=2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出相等的角，再结合全等三角形的判定定理证出三角形全等是关键．