Question

2．若关于x的方程x²-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围：
（1）两根都大于1；
（2）一根大于1，一根小于1；
（3）两根都小于1．

Answer 1

分析 由关于x的方程x²-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）²-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．设方程x²-2ax+a+2=0的两根为α，β，利用根与系数的关系得到α+β=2a，αβ=a+2．
（1）由两根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴-$\frac{-2a}{2}$＞1，依此求出a的取值范围；
（2）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范围；
（3）由两根都小于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴-$\frac{-2a}{2}$＜1，依此求出a的取值范围．

解答 解：∵关于x的方程x²-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，
∴△=（-2a）²-4（a+2）＞0，
∴a＜-1或a＞2．
设方程x²-2ax+a+2=0的两根为α，β，
α+β=2a，αβ=a+2．
（1）∵两根都大于1，
∴（α-1）（β-1）＞0，
∴αβ-（α+β）+1＞0，
∴a+2-2a＞-1，
∴a＜3，
又-$\frac{-2a}{2}$＞1，a＞1；
又a＜-1或a＞2，
∴2＜a＜3；

（2）∵一根大于1，一根小于1，
∴（α-1）（β-1）＜0，
∴αβ-（α+β）+1＜0，
∴a+2-2a＜-1，
∴a＞3，
∴a＞3；

（3）∵两根都小于1，
∴（α-1）（β-1）＞0，
∴αβ-（α+β）+1＞0，
∴a+2-2a＞-1，
∴a＜3，
又-$\frac{-2a}{2}$＜1，a＜1；
又a＜-1或a＞2，
∴a＜-1．

点评 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．