Question

10．如图，两圆T₁、T₂相交于A、B两点，过点B的一条直线分别交圆T₁、T₂于点C、D，过点B的另一条直线分别交圆T₁、T₂于点E、F，直线CF分别交圆T₁、T₂于点P、Q，设M、N分别是弧PB、弧QB的中点，求证：若CD=EF，则C、F、M、N四点共圆．

Answer 1

分析 连接AC、AD、AE、AF、AB、DF，由圆周角定理和圆内接四边形的性质得出∠ADB=∠AFB，∠ACB=∠AEF，由ASA证明△ACD≌△AEF，得出AD=AF，∠ADC=∠AFE，∠ADF=∠AFD，得出AB是∠CBF的角平分线；连接CM、FN，证出CM是∠DCF的角平分线，同理：FN是∠CFB的角平分线，BA、CM、FN交于一点I，由圆幂定理得出NI•IF=CI•DM，即可得出结论．

解答 证明：连接AC、AD、AE、AF、AB、DF，如图所示：
由圆周角定理得：∠ADB=∠AFB，
∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠ACB=∠AEF，
在△ACD和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AFB}&{\;}\\{CD=EF}&{\;}\\{∠ACB=∠AEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEF（ASA），
∴AD=AF，∠ADC=∠AFE，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠ABC=∠AFD=∠ADF=∠ABF，
∴AB是∠CBF的角平分线；
连接CM、FN，
∵M是弧PB的中点，
∴$\widehat{PM}=\widehat{BM}$，
∴∠PCM=∠BCM，
∴CM是∠DCF的角平分线，
同理：FN是∠CFB的角平分线，
即BA、CM、FN交于一点，设它们的交点为I，
在圆T₁、T₂中，根据圆幂定理得：
CI•IM=AI•IB，AI•IB=NI•IF，
∴NI•IF=CI•DM，
∴C、F、M、N四点共圆．

点评 本题是四点共圆综合题目；考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆幂定理、四点共圆等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作多条辅助线证明三角形全等和运用圆幂定理才能得出结论．