Question

13．在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．
（1）求证：△CMN∽△BAM；
（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形可得∠B=∠C=90°，要证△CMN∽△BAM，只需证∠BAM=∠CMN即可；
（2）根据相似三角形的性质，由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式，然后只需运用配方法就可求出y的最大值；
（3）由点M在BC上运动（点M与点B、C不重合），可得0＜x＜b，要满足条件①，应保证当0＜x＜b时，y≤a恒成立，要满足条件②，需存在一个x，使得y=a，综合条件①和②，当0＜x＜b时y最大值应为a，然后结合（2）中的结论，就可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°．
∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△CMN∽△BAM；

（2）∵△CMN∽△BAM，
∴$\frac{CM}{BA}$=$\frac{CN}{BM}$．
∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，
∴$\frac{b-x}{a}$=$\frac{y}{x}$，
∴y=$\frac{1}{a}$（bx-x²）=-$\frac{1}{a}$（x²-bx）
=-$\frac{1}{a}$[（x-$\frac{b}{2}$）²-$\frac{{b}^{2}}{4}$]
=-$\frac{1}{a}$（x-$\frac{b}{2}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4a}$．
∵-$\frac{1}{a}$＜0，
∴当x=$\frac{b}{2}$时，y取最大值，最大值为$\frac{{b}^{2}}{4a}$．

（3）由题可知：
当0＜x＜b时，y的最大值为a，即$\frac{{b}^{2}}{4a}$=a，
解得：b=2a．
∴要同时满足两个条件，b的值为2a．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、二次函数的最值性，运用配方法是解决第（2）小题的关键．需要说明的是，对于第（3）小题，要满足条件①，只需$\frac{{b}^{2}}{4a}$≤a即可，但$\frac{{b}^{2}}{4a}$＜a时，不满足条件②，故要同时满足条件①和②，只有$\frac{{b}^{2}}{4a}$=a时才成立．