Question

7．已知，四边形ABCD为正方形，E，F分别在BC，CD上，△AEF为等边三角形，G为CD上一点，EG平分∠AGC，求证：AG=FG+EG．

Answer 1

分析 如图延长GC使得GM=GA，连接AM，EM，AM交EG于O，在GA上截取GK=FG，连接FK，先证明△EFM是等腰直角三角形，再利用“8字型”证明∠FGH=∠AEH=60°，再证明△AFK≌△EFG即可解决问题．

解答 证明：如图延长GC使得GM=GA，连接AM，EM，AM交EG于O，在GA上截取GK=FG，连接FK．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=∠DCB=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF，∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°，
∵EG平分∠AGC，
∴GE垂直平分AM，
∴EA=EM=EF，
在RT△ADF和RT△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE，
∴DF=BE，CF=CE，
∴∠EFC=∠FEC=∠EMF=45°，
∵∠GAM=∠GMA，∠EAM=∠EMA，
∴∠GAE=∠EMG=45°=∠GFH，
∵∠GFH+∠FHG+∠FGH=180°，∠HAE+∠AEH+∠AHE=180°，∠FHG=∠EHA，
∴∠FGH=∠AEF=60°，
∴∠AEG=∠EGC=60°，
∵GK=FG，∠FGK=60°，
∴△FGK是等边三角形，
∴FK=FG=GK，∠GFK=∠AFE=60°，
∴∠AFK=∠EFG，
在△AFK和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{∠AFK=∠EFG}\\{FK=FG}\end{array}\right.$，
∴△AFK≌△EFG，
∴AK=EG，
∴AG=AK+GK=GE+GF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及全等三角形，难度比较大，属于中考压轴题．