Question

12．如图，抛物线y=ax²-3ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点G，已知B（4，0），tan∠OAC=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将∠CAB绕点A顺时针旋转，边AB旋转后与对称轴相交于点D，边AC旋转后与抛物线相交于点E，与对称轴相交于点F．
①当点F恰好为BC与对称轴的交点时，求点D坐标；
②当AG=DG时，求点E坐标．

Answer 1

分析 （1）求出对称轴后求出点A坐标，根据tan∠CAO=2求出点C坐标，然后把B、C代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）①在RT△ACF中利用勾股定理求出线段AF，CF，再利用△CAF∽△GAD列出比例式即可解决问题．
②求出直线AM，解方程组求交点E的坐标．

解答 （1）解：∵对称轴x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$，点B坐标（4，0），
∴点A坐标（1，0），
∵tan∠CAO=2，
∴CO=2AO=2，
∴点C坐标（0，2），
把B、C坐标代入y=ax²-3ax+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a-12a+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
（2）①如图1中，设AF=FB=x，
在RT△ACF中，∵AC²+CF²=AF²，
∵AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴5+（2$\sqrt{5}$-x）²=x²，
∴x=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴AF=BF=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，CF=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∵AC²+BC²=5+20=25，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠AGD，
∵∠CAF=∠GAD，
∴△CAF∽△GAD，
∴$\frac{AC}{AG}=\frac{CF}{GD}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{\frac{5}{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{4}}{DG}$，
∴DG=$\frac{15}{8}$，
∴点D坐标（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．
②如图2中，∵AG=GD，∠AGD=90°，
∴∠GAD=∠GDA=45°，
∴∠CAM=∠GAD=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠CMA=45°，
∴AC=CM=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴CM=BM，
∴点M坐标为（2，1），
∴直线AM为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）．

点评 本题考查待定系数法确定二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义、勾股定理等知识，利用相似三角形是解决问题的关键，记住求交点坐标的方法是解方程组，属于中考压轴题．