Question

11．在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接BE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，
①如果∠BAC=90°，△ABD与△ACE全等吗？并求∠BCE度数；
②如果∠BAC=100°，直接写出∠BCE的度数．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）①可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，证明∠ACB=45°，即可解决问题．
②根据①中的结论代入解答即可；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，即可解决问题．
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD=∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，∠BCE=90°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=100°
∴∠BCE=80°．
（2）如图2，α+β=180°；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD与△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°．
（3）α=β．如图3，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC；
在△ADB与△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE；
∵∠ABD=∠ACB+α，β=∠ACE-∠ACB，
∴β=∠ACB+α-∠ACB，
∴α=β．

点评 该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．