Question

3．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．求证：CD=2DM．

Answer 1

分析 连接OA、AD，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，∠CAD=90°，得到∠OCA=30°，∠DAM=30°，根据切线的性质求出∠M=30°，根据等腰三角形的性质和30°角的直角三角形的性质证得结论．

解答 证明：连接OA、AD，
∵AM是⊙O的切线，
∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，
∴∠M=30°，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAM=30°，
∴AD=DM，
在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，
∴CD=2AD，
∴CD=2DM．

点评 本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理和30°角的直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．