Question

1．如图，四边形ABCD的一边AD落在圆O的直径上，点B，C在圆上，且AB∥CD，∠B=90°
（1）若圆O的半径为5，BC=6，求圆心O到弦BC的距离；
（2）求证：圆心O是线段AD的中点；
（3）如图2，过点A作AF⊥CD于E交圆于F，过点D作DG⊥CD交圆与G，连接FG
①求证：∠F=90°；
②若BC=8，CE=4，FG=6，求四边形DEFG的面积．

Answer 1

分析 （1）过点O作OH⊥BC于点H，连接OC，根据垂径定理求出CH的长，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据（1）可得BH=CH，∠OHB=90°，故OH∥AB∥CD，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；
（3）①过点O作OM⊥CD交CD于点M，交FG于点N，根据AF⊥CD，DG⊥CD可得出AF∥ON∥DG．再由AO=DO可知FN=GN，根据垂径定理即可得出结论；
②作OP⊥BC交BC于点P，交AE于点Q，连接OC，OF，则OC=OF=5．由①知，FN=OQ=EM=$\frac{1}{2}$FG=3，OM=QE=$\frac{1}{2}$BC=4，设EF=x，则CM=CE+EM=7，QF=QE+EF=4+x，在Rt△OMC与Rt△OQF中根据勾股定理求出x的值，再由矩形的面积公式即可得出结论．

解答 （1）解：如图1，过点O作OH⊥BC于点H，连接OC，
∵圆O的半径为5，BC=6，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴OH=$\sqrt{{OC}^{2}-{CH}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；

（2）证明：∵由（1）得BH=CH，∠OHB=90°，
∴OH∥AB∥CD，
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{AO}{DO}$=1，
∴OA=OD；

（3）①证明：如图2，过点O作OM⊥CD交CD于点M，交FG于点N，
∵AF⊥CD，DG⊥CD，
∴AF∥ON∥DG．
∵AO=DO，
∴FN=GN，
∴ON⊥FG．
∵AF∥ON，
∴AF⊥FG，
∴∠F=90°．
②解：如图3，作OP⊥BC交BC于点P，交AE于点Q，连接OC，OF，则OC=OF=5．
∵由①知，FN=OQ=EM=$\frac{1}{2}$FG=3，OM=QE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴设EF=x，则CM=CE+EM=7，QF=QE+EF=4+x，
在Rt△OMC与Rt△OQF中，
∵OC²=OM²+CM²=4²+7²=65，
OF²=OQ²+QF²=3²+（4+x）²，
∴9+（4+x）²=65，
∴x=2$\sqrt{14}$-4，
∴S_{四边形EFGD}=EF•FG=（2$\sqrt{14}$-4）×6=12$\sqrt{14}$-24．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到垂径定理、勾股定理、矩形的面积公式等知识，在解答此类问题时要注意作出辅助线，构造出直角三角形求解．