Question

8．已知，在△ABC中，AB=AC，AD、BE分别是△ABC的角平分线，H为AC的中点，连接HD，交BE于G，BF平分∠MBC，交HD的延长线于F．
（1）求证：DG=DB；
（2）请判断四边形BGCF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）若要证明DG=DB可证∠BGD=∠GBD，根据题意知DH是△ABC中位线即DH∥AB得∠BGD=∠GBA，根据BE平分∠ABC得∠GBA=∠GBD，从而得证；
（2）与（1）同理可证DB=DF，又DB=DG可知DG=DF，由BE平分∠ABC、BF平分∠MBC可知∠FBG=90°，根据有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形可得．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=BC，
∵H为AC的中点，
∴DH∥AB，且DH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BGD=∠GBA，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠GBA=∠GBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BGD=∠GBD，
∴DG=DB；
（2）四边形BGCF是矩形，
由（1）知，FH∥AB，
∴∠MBF=∠F，
又∵BF平分∠MBC，
∴∠MBF=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠MBC
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
又∵DB=DG，
∴DG=DF，
∵BD=BC，∠GBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DBF=$\frac{1}{2}$∠MBC
∴BC、FG互相平分，且∠FBG=∠FBD+∠GBD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠MBC）=90°，
故四边形BGCF是矩形．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质及角平分线的运用能力，通过证明两角相等得到对应的边相等是解题的关键．