Question

18．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在四边上，EH∥BC，GF∥AB，EH与FG交于点O，且AE=AG，若AE比CH长2，△BOF的面积为$\frac{3}{2}$
（1）求正方形ABCD的面积；
（2）设AE=a，BE=b，求代数式a⁴+b⁴的值．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是正方形，得到AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，由于EH∥BC，GF∥AB，得出四边形AEOG是正方形，四边形AEHD，EBFO，GOHD是矩形，根据△BOF的面积为$\frac{3}{2}$，得到矩形EBFO的面积=3，设AE=OE=DH=x，BE=CH=y，列出$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{xy=3}\end{array}\right.$，即可得到结果；
（2）由（1）求得AE=3，BE=1，代入即可得到结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∵EH∥BC，GF∥AB，
∴四边形AEOG是正方形，四边形AEHD，EBFO，GOHD是矩形，
∴AE=DH，BE=CH，
∵△BOF的面积为$\frac{3}{2}$，
∴矩形EBFO的面积=3，
设AE=OE=DH=x，BE=CH=y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{xy=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴AEE=3，BE=1，
∴AB=AE+BE=4，
∴正方形ABCD的面积=4×4=16；

（2）由（1）求得AE=3，BE=1，
∴a=3，b=1，
∴a⁴+b⁴=3⁴+1¹=82．

点评 本题考查了正方形的判定和性质，正方形的面积，三角形的面积，充分利用已知条件列方程组求出各线段是解题的关键．