Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=6，∠ACB=30°，Rt△EFG中，∠E=90°，EG=5，GF=10，点E在AD上时，将Rt△EFG绕点C顺时针旋转α（0＜α＜90°）得到E₁F₁G₁．设直线E₁F₁交直线AD于点M，直线E₁F₁交直线AC于点N，当AM=AN时，求MA的值．

Answer 1

分析 如图，作CH⊥MN于H，首先求出CF的长，再证明∠HCN=15°，在图1中，取CK=KN，设CK=KN=x，列出方程求出x，再利用勾股定理求出CN即可解决问题．

解答 解：如图，作CH⊥MN于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠ACB=∠CAD=30°，
在RT△ABC中，∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，
∴AC=2AB=12，
在RT△EGF中，∵∠GEF=90°，EG=5，GF=10，
∴GF=2EG，
∴∠EFG=30°，∠EGF=60°，
∵∠EGF=∠CAD+∠AEG，
∴∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE=5，GC=7，CF=3，
在RT△CHF₁中，∵∠CHF₁=90°，CF₁=3，∠F₁=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CF₁=$\frac{3}{2}$，
在RT△CHN中，∵∠CNH=∠AMN=$\frac{1}{2}（180°-30°）$=75°，
∴∠HCN=15°，
如图1中，在RT△CHN中，取CK=KN，设CK=KN=x，
∴∠KCN=∠KNC=15°，
∴∠HKN=30°，
∴HN=$\frac{1}{2}$x，KH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴CK+KH=CH，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{3}{2}$，
∴x=6-3$\sqrt{3}$，
∴CN=$\sqrt{C{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{6-3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．
∴AM=AN=AC+CN=12+$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）=12+$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查矩形的性质、旋转变换、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确画出图形，发现∠HCN=15°是解题的突破口，学会添加辅助线把15°转化为30°，学会利用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．