Question

14．已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BC=10，AB=16，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明CD是⊙切线，只要证明CD⊥CO即可．
（2）连结B0．设OB=x，在RT△BHO中利用勾股定理求出x，再证明△CHB≌△FHA得CH=HF，CF=2CH，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵OC⊥AB，AB∥CD，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连结B0．
设OB=x，
∵AB=16，OC⊥AB，
∴HA=BH=8，
∵BC=10，
∴CH=6，
∴OH=x-6．
在RT△BHO中，∵OH²+BH²=OB²，
∴（x-6）²+8²=x²
解得$x=\frac{25}{3}$
∵CB∥AE
∴∠CBH=∠FAH，
在△CHB和△FHA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBH=∠FAH}\\{∠CHB=∠AHF}\\{BH=AH}\end{array}\right.$，
∴△CHB≌△FHA
∴CH=HF，
∴CF=2CH=12
∴OF=CF-OC=12-$\frac{25}{3}=\frac{11}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，利用勾股定理列出方程，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．