Question

19．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为$\widehat{AD}$上一点，连结AE、BE，BE交AC于点F，且∠AFE=∠EAB．
（1）试说明E为$\widehat{AD}$的中点；
（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠EAD=∠ABE，根据∠EFA=∠EAB，∠EFA=∠FAB+∠FBA，∠EAB=∠EAF+∠FAB即可证明．
（2）首先证明∠C=∠AOM，设半径为r，根据cos∠AOM=$\frac{OM}{AO}$=$\frac{3}{5}$列方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵∠EFA=∠EAB，∠EFA=∠FAB+∠FBA，∠EAB=∠EAF+∠FAB，
∴∠EAF=∠ABE，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{AE}$，
∴点E是$\widehat{AD}$中点．
（2）如图，连接EO，交AD于M，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{ED}$，
∴OE⊥AD，AM=DM，设半径为r，
∵∠C+∠CAB=90°，∠CAB+∠AOM=90°，
∴∠C=∠AOM，
∴cos∠AOM=cos∠C=$\frac{3}{5}$，
∵cos∠AOM=$\frac{OM}{AO}$，EM=1，OM=r-1，AO=r，
∴$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，
∴r=$\frac{5}{2}$．
∴⊙O半径为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、三角函数，同弧或等弧所对的圆周角相等、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．