Question

5．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，在BC边上取一点E，使BE=4，连结AE，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCF的位置，拼成四边形AEFD．
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）求四边形AEFD的两条对角线的长．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得到AE∥DF，AE=DF，则由此判定四边形AEFD是平行四边形；然后由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；
（2）根据勾股定理，可得答案．

解答 （1）证明：由平移的性质得：AE∥DF，AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠DCE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5=AD，
∴四边形AEFD是菱形
（2）解：连结DE、AF，如图所示：
在直角△ABF中，BF=BE+EF=4+5=9，
由勾股定理得到：AF=$\sqrt{A{B}^{2}{+BF}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
在直角△DCE中，CE=BC-BE=5-4=1，
由勾股定理得到：DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、图形的剪拼以及平移的性质、勾股定理．熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理得出AE是解决问题的关键．