Question

【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n=2，则时间t=

AD

a

+

CD

2a

，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD+

CD

2

的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM=30°．
（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE=

CD

2

；
（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′，并说明理由．
【问题解决】
（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．
【模型运用】
（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m，BC=300m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，
立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到
达A处的最短时间．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）利用在Rt△BCM中，DE=CD•sin30°，进而求出即可；
（2）首先过点A作AE⊥CM交CB于点D'，则D'点即为所用时间最短的登陆点，由第（1）问可知，D'E'=

CD′

2

，AD'+

CD′

2

最短，即为AD'+D'E′最短；
（3）首先过点C做射线CM，使得sin∠BCM=

1

n

，进而求出D点位置；
（4）由救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，得出sin∠BCM=

1

3

，可得sin∠DAB=

1

3

，进而得出时间．

解答：解：（1）如图①，
∵DE⊥CM，∴∠DEC=90°，
∴在Rt△BCM中，DE=CD•sin30°，
∴DE=

CD

2

．

（2）如图①过点A作AE⊥CM交CB于点D'，则D'点即为所用时间最短的登陆点．
理由如下：由第（1）问可知，D'E'=

CD′

2

．
AD'+

CD′

2

最短，即为AD'+D'E′最短．
由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．
可知此时D'点即为所求．

（3）如图②，
过点C做射线CM，使得sin∠BCM=

1

n

，
过点A作AE⊥CM，垂足为E，交CB于点D，则D即为所用时间最短的登陆点．

（4）∵救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，
∴此时sin∠BCM=

1

3

，可得sin∠DAB=

1

3

，
∴在Rt△ADB中，AB=300，
AD=225

2

，DB=75

2

，CD=300-75

2

．
∴时间为 

300-75 2

6

+

225 2

2

=（50+100

2

）s．

点评：此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数应用，根据题意得出sin∠BCM的值是解题关键．