Question

如图所示，已知△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）问线段QM、PM、AB之间有什么关系？
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？

Answer 1

考点：菱形的判定,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的判定得出平行四边形AQMP，求出BQ=MQ即可；
（2）求出AQ=QM，根据菱形的判定推出即可．

解答：解：（1）QM+PM=AB，
理由是：∵QM∥AC，PM∥AB，
∴四边形AQMP是平行四边形，
∴AP=QM，AQ=PM，∠QMB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴BQ=QM，
∴AB=AQ+BQ=QM+PM；

（2）当M为BC中点时，四边形AQMP是菱形，
理由是：连接AM，
∵AB=AC，M为BC中点，
∴∠BAM=∠CAM，
∵QM∥AC，
∴∠QMA=∠CAM，
∴∠QAM=∠QMA，
∴AQ=QM，
∵QM∥AC，PM∥AB，
∴四边形AQMP是平行四边形，
∴四边形AQMP是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．