Question

14．如图，把含30°角的三角板放置在如图所示的平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠B=30°，OA=2，斜边AB∥x轴，点A在双曲线上．
（1）求双曲线的解析式；
（2）把三角板AOB绕点A顺时针旋转，使得点O的对应点C落在x轴的负半轴上，AB的对应线段为AD，试判断点D是否在双曲线上？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图，先求出∠AOE=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出AE和OE，从而得到A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）利用旋转的性质得AC=AO，∠CAO=∠BAD，则可判断△AOC为等边三角形，得到∠CAO=∠BAD=60°，于是可判断点D在AC的延长线上，然后通过证明点A与点D关于原点对称得到点D是在双曲线上．

解答 解：（1）如图，∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠BAO=60°，AB=2OA=4，
∵斜边AB∥x轴，
∴∠AOE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$OA=1，OE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴A点坐标为（-1，$\sqrt{3}$），
设反比例函数解析式y=$\frac{k}{x}$，
把A（-1，$\sqrt{3}$）代入得k=-1×$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）点D是在双曲线上．理由如下：
∵三角板AOB绕点A顺时针旋转，使得点O的对应点C落在x轴的负半轴上，
∴AC=AO，∠CAO=∠BAD，
而∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠CAO=60°，
∴∠BAD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴点D在AC的延长线上，
而AB=AD=2，AO=2，
∴OA=OD=2，
∴点A与点D关于原点对称，
∴点D是在双曲线上．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．解决（2）小题的关键是确定旋转角为60°．