Question

17．在平行四边形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，求证：EF⊥AE．

Answer 1

分析 延长AE交BC的延长线于G，由平行四边形的性质得出AD∥BC，由内错角相等得出∠G=∠EAD，∠D=∠ECG，由AAS证明△ADE≌△GCE，得出AE=GE，证出AF=GF，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答 解：延长AE交BC的延长线于G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠G=∠EAD，∠D=∠ECG，
∵E是CD的中点，∴
DE=CE，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECG}\\{∠EAD=∠G}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AE=GE，
∵∠FAE=∠EAD，
∴∠FAE=∠G，
∴AF=GF，
∴EF⊥AE（三线合一）．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．