Question

12．如图，四边形ABCD中，AB=CD，点E，F分别是AD，BC的中点，GH⊥EF交于点P．延长BA，FE相交于点Q，延长CD交FE的延长线于点K，求证：∠AGH=∠DHG．

Answer 1

分析 如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．利用三角形中位线定理证得△MEF是等腰三角形，则∠EMP=∠FMP．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠AGH=∠EMP，∠DHG=∠FMP根据等量代换证得∠AGH=∠DHG．

解答 证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM，
∵点E是AD的中点，
∴ME是△ADG的中位线，
∴ME∥AB，ME=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠AGH=∠EMP，
同理可证：MF∥DC，MF=$\frac{1}{2}$DC，
∴∠DHG=∠FMP，
∵AB=CD，
∴ME=MF，
∵GH⊥EF，
∴∠EMP=∠FMP，
∴∠AGH=∠DHG．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质与定理并作辅助线构造出三角形是解题的关键．