Question

19．平面直角坐标系中，点A在函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，点B在y₂=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b．
（1）当|a|=|b|=5时，求△OAB的面积；
（2）当AB∥x轴时，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，先旅游反比例函数解析式确定当A（5，$\frac{2}{5}$），B（-$\frac{2}{5}$，5），再利用反比例函数系数k的几何意义得到S_△BOD=S_△AOC=1，然后利用S_△AOB=S_梯形ABDC-S_△BOD-S_△AOC进行计算；
（2）如图2，AB交y轴于H，根据反比例函数系数k的几何意义，利用S_△AOB=S_△BOH+S_△AOH进行计算即可．

解答 解：（1）如图1，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵|a|=|b|=5，
∴a=5，b=5，
当x=5时，y₁=$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{5}$，则A（5，$\frac{2}{5}$），
当y=5时，-$\frac{2}{x}$=5，解得x=-$\frac{2}{5}$，则B（-$\frac{2}{5}$，5），
∵S_△BOD=$\frac{1}{2}$×2=1，S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴S_△AOB=S_梯形ABDC-S_△BOD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{5}$+5）（5+$\frac{2}{5}$）-1-1=$\frac{629}{50}$；
（2）如图2，AB交y轴于H，
∵AB∥x轴，
∴S_△AOB=S_△BOH+S_△AOH=$\frac{1}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×2=2．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．