Question

11．如图所示，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（6，n）在边AB上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，E，且tan∠BOA=$\frac{1}{3}$．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的表达式和n的值．

Answer 1

分析 （1）根据点E的纵坐标判断出OA=6，再根据tan∠BOA=$\frac{1}{3}$即可求出AB的长度；
（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值．

解答 解：（1）∵点E（6，n）在边AB上，
∴OA=6，
Rt△AOB中，∵tan∠BOA=$\frac{1}{3}$，
∴AB=OA×tan∠BOA=6×$\frac{1}{3}$=2；

（2）根据（1），可得点B的坐标为（6，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（3，1）
∴$\frac{k}{3}$=1，
解得k=3，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
又∵点E（6，n）在反比例函数图象上，
∴$\frac{3}{6}$=n，
解得n=$\frac{1}{2}$．

点评 本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键．