Question

2．如图，△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=100°，点D在线段BC上运动（不与点B、C重合），连接AD，作∠1=∠C，DE交线段AC于点E．
（1）若∠BAD=20°，求∠EDC的度数；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；
（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；
若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的外角的性质得出答案即可；
（2）利用∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC得出∠BAD=∠EDC，进而求出△ABD≌△DCE；
（3）根据等腰三角形的判定以及分类讨论得出即可．

解答 解（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=40°，
∵∠1=∠C，
∴∠1=∠B=40°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠1+∠EDC．
∴∠EDC=∠BAD=20°

（2）当DC=5时，△ABD≌△DCE；
理由：∵∠ADE=40°，∠B=40°，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC．
∴∠BAD=∠EDC．
在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{AB=CD}\\{∠BAD=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（3）当∠BAD=30°时，
∵∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=100°，
∵∠ADE=40°，∠BAD=30°，
∴∠DAE=70°，
∴∠AED=180°-40°-70°=70°，
∴DA=DE，这时△ADE为等腰三角形；
当∠BAD=60°时，∵∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=100°，
∵∠ADE=40°，∠BAD=60°，∠DAE=40°，
∴EA=ED，这时△ADE为等腰三角形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，根据已知得出△ABD≌△DCE是解题关键．