题目内容
7．如图1，点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；
（2）对以下两个问题：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M、N分别移到BC，CA的延长线上（如图2），是否仍能得到∠BQM=60°？
请你判断，并在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；并对①、②的判断，选择一个给出理由．
分析 （1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，根据SAS推出△BAM≌△CBN，根据全等得出∠CBN=∠BAM，根据三角形外角性质得出∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABC，即可得出答案；
（2）①根据等边三角形的性质得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，求出∠BAM=∠CBN，根据ASA推出△BAM≌△CBN，根据全等得出即可；
②根据等边三角形的性质求出∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=AC=BC，求出∠BAN=∠ACM=120°，CM=AN，根据SAS推出△BAN≌△ACM，根据全等得出∠N=∠M，根据三角形外角性质求出即可．
解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
∵在△BAM和△CBN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△BAM≌△CBN，
∴∠CBN=∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
∵∠BQM=60°=∠ABN+∠BAM，
∵∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠BAM=∠CBN，
在△BAM和△CBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBN}\\{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\end{array}\right.$
∴△BAM≌△CBN，
∴BM=CN，
故答案为：是；
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵AC=BC，CN=BM，
∴CM=AN，
在△BAN和△ACM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠ACM}\\{AN=CM}\end{array}\right.$
∴△BAN≌△ACM，
∴∠N=∠M，
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=∠M+∠MAC=∠ACB=60°，
故答案为：是．
点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键，证明过程类似，难度适中．
阅读快车系列答案
如图，在△ABC中，以AB边为直径作⊙O，交BC边于点D，BD=DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
如图．△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠DBE=76°，则∠AEB的度数是136°．
如图，△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=100°，点D在线段BC上运动（不与点B、C重合），连接AD，作∠1=∠C，DE交线段AC于点E．
我们规定，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图，四边形ABCD，小明同学通过测量得，AB=CD，BC=AD．
| A． | 2 | B． | -2 | C． | 3 | D． | -3 |