Question

16．小明看见搬水工人每天挑水上下楼很辛苦，就设计了一个简易的升降装置，装置由两根钢管AC、BC构成，如图所示，AB两点固定在墙上，C点装一个电动定滑轮，将纯净水吊上各层楼．已知，AB两点的距离是3米，∠ACB=30°，∠CAF=60°．
（1）求C点到墙的距离；
（2）因教学楼建在一个坡上，斜坡EF长4米，坡度i=1：3，小明发现吊绳的落点Q在斜坡上，使用时很不方便，于是在保持钢管总长度不变的情况下，通过改变角度的办法，使吊绳落点Q恰好与E点重合，此时∠ABC′=60°，求AC′的长度（保留小数点后1位）
（$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{10}$≈3.16）

Answer 1

分析 （1）作CG⊥AF于G，根据三角形的外角的性质得到∠ABC=30°，求出AC，根据正弦的概念求出CG；
（2）作C′M⊥AF于M，设DF=k，根据坡度的概念得到DE=3k，根据勾股定理用k表示EF，求出k的值，根据正弦的概念计算即可．

解答 解：（1）作CG⊥AF于G，
∵∠ACB=30°，∠CAF=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=AB=3米，
∴CG=AC•sin∠CAG=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≈2.6，
答：C点到墙的距离约为2.6米；
（2）作C′M⊥AF于M，
∵斜坡EF长4米，坡度i=1：3，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
设DF=k，则DE=3k，
由勾股定理得，EF=$\sqrt{10}$k，
∴$\sqrt{10}$k=4，
解得，k=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴DE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∵sin∠ABC′=$\frac{C′M}{BC′}$，
∴BC′=$\frac{4\sqrt{30}}{5}$，
∴AC′=3+3$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{30}}{5}$≈3.8，
答：AC′的长度约为3.8米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义、掌握坡度的概念是解题的关键．