Question

如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆,扇形面积的计算

专题：压轴题

分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2

3

，OM=OB•cos60°=2，
∴BD=2BM=4

3

，
∴△BDO的面积是

1

2

×BD×OM=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
同理△FDO的面积是4

3

；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2

3

，
∴S_扇形OCD-S_△COD=

60π×42

360

-

1

2

×4×2

3

=

8

3

π-4

3

，
∴阴影部分的面积是：4

3

+4

3

+

8

3

π-4

3

+

8

3

π-4

3

=

16

3

π，
故答案为：

16

3

π．

点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．