Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求F点坐标；

（3）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3，D(﹣1，4)；（2）F点坐标为(﹣，)；（3）存在，满足条件的P点坐标为(﹣1，﹣1)或(﹣1，﹣﹣1)

【解析】

（1）把代入得得到关于的方程组，然后解方程组即可求出抛物线解析式，再把解析式配成顶点式可得D点坐标；
（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，先利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，则，则可表示出，，根据三角形面积公式结合二次函数的性质即可求解；
（3）设，根据得到，最后分两种情况求解即可得出结论．

解：（1）把代入得

，

∴ ，

∴抛物线的解析式为：，

∵，

∴点D的坐标为：；

（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，

设直线AC的解析式为，

把代入，

得，

解得，

∴直线AC的解析式为： ．

设，则，

∴，

∴=，

当时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（﹣，），

（3）存在．

∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），

∴，

设，则，，如图3，

∵∠HDP=∠EDA，∠DHP=∠DEA=90°

∴，

∴，

∴，

当t＞0时，，解得：，

当t＜0时，，解得： ，

综上所述，满足条件的P点坐标为或