题目内容
【题目】如图，已知直线
与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线
经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）求图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）当
时，线段PC有最大值是2；（3）
，
，
【解析】
把x=0，y=0分别代入解析式可求点A，点B坐标，由待定系数法可求解析式；
设点C
,可求PC
,由二次函数的性质可求解；
设点P的坐标为(x,
x+2)，则点C，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可出点P的坐标．
解：(1)可求得 A（0,2 ），B(4,0 )
∵抛物线
经过点A和点B
∴把(0,2),(4,0)分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为.
（2）设点P的坐标为(x,x+2)，则C（）
∵点P在线段AB上
∴
∴当时，线段PC有最大值是2
（3）设点P的坐标为(x,x+2)，
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
∴点C(x,
)
①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOPC为平行四边形，
则OA=PC=2,即
，
化简得：
，
解得x1=x2=2把x=2代入
则点P的坐标为(2,1)
②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即
，
化简得：
，
解得：
把
，
则点P的坐标为
;
③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即
，
化简得：，
解得：
把
则点P的坐标为
综上，使以O、A.P、C为顶点的四边形是平行四边形，
满足的点P的坐标为
.
