Question

16．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．
探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．
因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{2}$，设EB=x，则BF=$\sqrt{2}$-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{2}$-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（$\sqrt{2}$-x）²=1²
解得，x₁=x₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BE=BF，即点B是EF的中点．
同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．
所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：已知边长为1的正方形ABCD，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）

Answer 1

分析 探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；
探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；
探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．

解答 解：探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{3}$，设EB=x，则BF=$\sqrt{3}$-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{3}$-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（$\sqrt{3}$-x）²=1²
整理得x²-$\sqrt{3}$x+1=0
b²-4ac=3-4＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；
探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，
所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=2-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（2-x）²=1²
整理得2x²-4x+3=0
b²-4ac=16-24＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，
故答案为：不存在；
探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，
所以EF=FG=GH=HE=$\sqrt{n}$，设EB=x，则BF=$\sqrt{n}$-x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF=AE=$\sqrt{n}$-x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（$\sqrt{n}$-x）²=1²
整理得2x²-2$\sqrt{n}$x+n-1=0
b²-4ac=8-4n＜0，
此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．