Question

6．甲、乙两人同时解根式方程$\sqrt{x+b}$$+\sqrt{x+a}$=7，抄题时．甲错抄成$\sqrt{x+b}$$+\sqrt{x-a}$=7，结果解得其根为12；乙错抄成$\sqrt{x+d}$$+\sqrt{x+a}$=7，结果解得其根为13．已知两人除错抄外．解题过程都是正确的．若a，b，d均为整数，求α，b的值．

Answer 1

分析 根据题意得出$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{12+b}+\sqrt{12-a}=7}\\{\sqrt{13+d}+\sqrt{12+a}=7}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{12-a≥0}\\{13+a≥0}\end{array}\right.$，解得-13≤a≤12，得出0≤$\sqrt{12-a}$≤$\sqrt{25}$=5，且$\sqrt{12-a}$和$\sqrt{13+a}$同为整数的a只有3或-4，得出a=3或a=-4；把a的值分别代入$\sqrt{12+b}+\sqrt{12-a}=7$和$\sqrt{13+d}+\sqrt{12+a}=7$求出b、d的值即可．

解答 解：根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{12+b}+\sqrt{12-a}=7}\\{\sqrt{13+d}+\sqrt{12+a}=7}\end{array}\right.$，
需满足：$\left\{\begin{array}{l}{12-a≥0}\\{13+a≥0}\end{array}\right.$，
解得：-13≤a≤12，
∴0≤$\sqrt{12-a}$≤$\sqrt{25}$=5，且$\sqrt{12-a}$和$\sqrt{13+a}$同为整数的a只有3或-4，
∴a=3或a=-4；
当a=3时，代入$\sqrt{12+b}+\sqrt{12-a}=7$得：b=4；
代入$\sqrt{13+d}+\sqrt{12+a}=7$得：d=-4；
当a=-4时，代入$\sqrt{12+b}+\sqrt{12-a}=7$得：b=-3；
代入$\sqrt{13+d}+\sqrt{12+a}=7$得：d=3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}&{\;}\\{b=4}&{\;}\\{d=-4}&{\;}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}&{\;}\\{b=-3}&{\;}\\{d=3}&{\;}\end{array}\right.$，
即α，b的值为$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了无理方程、方程的解的运用、二次根式的非负性质；由题意得出a的值是解决问题的关键．