Question

如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC相似．

解答：证明：在Rt△PBC中，∵BH⊥PC，
∴∠PBC=∠PHB=90°，
∴∠PBH=∠PCB．
显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，
∴

BH

PB

=

HC

BC

，
由已知，BP=BQ，BC=DC，
∴

BH

BQ

=

HC

CD

，∴

BH

CH

=

BQ

CD

．
∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，
∴∠HBQ=∠HCD．
在△HBQ与△HCD中，∵

BH

CH

=

BQ

CD

，∠HBQ=∠HCD，
∴△HBQ∽△HCD，
∴∠BHQ=∠DHC，
∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．
又∵∠BHQ+∠QHC=90°，
∴∠QHD=∠QHC+DHC=90°，
即DH⊥HQ．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法．