Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD平分∠ABC，E是AB中点，连接DE，则DE的长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 过D作AB垂线交于K，证明△BCD≌△BKD，得到BC=BK=3，由E为AB中点得到BE=AE=2.5，EK=0.5，所以AK=AE-EK=2，设DK=DC=x，AD=4-x，根据勾股定理AD²=AK²+DK²即（4-x）²=2²+x²解得：x=$\frac{3}{2}$在Rt△DEK中，DE=$\sqrt{D{K}^{2}+K{E}^{2}}=\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（0.5）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即可解答．

解答 解：如图，过D作AB垂线交于K，

∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD
∵∠C=∠DKB=90°，
∴CD=KD，
在△BCD和△BKD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=KD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BKD，
∴BC=BK=3
∵E为AB中点
∴BE=AE=2.5，EK=0.5，
∴AK=AE-EK=2，
设DK=DC=x，AD=4-x，
∴AD²=AK²+DK²
即（4-x）²=2²+x²
解得：x=$\frac{3}{2}$
∴在Rt△DEK中，DE=$\sqrt{D{K}^{2}+K{E}^{2}}=\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（0.5）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定定理和性质定理、勾股定理的应用，解决本题的关键是作出辅助线．