Question

20．如图，直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，对角线OB在x轴正半轴上，点A的坐标为（4，4$\sqrt{3}$），点D为AB的中点．动点M从点O出发沿x轴向点B运动，运动的速度为每秒1个单位，试解答下列问题：
（1）则菱形ABCO的周长为32，菱形ABCO的周长为32，
（2）当t=4时，求MA+MD的值；
（3）当t取什么值时，使MA+MD的值最小？并求出他的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据坐标与图形的关系求出OF，AF的长，根据勾股定理求出菱形的边长，根据菱形的性质求出周长；
（2）根据直角三角形的斜边的中线是斜边的一半求出MD的值，计算得到MA+MD的值；
（3）作点D关于x轴的对称点D′，连接AD′交x轴于点M，作出MA+MD的值最小时的点M，根据菱形的性质和坐标与图形的关系求出AD′的长，得到答案．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（4，4$\sqrt{3}$），
∴OF=4，AF=4$\sqrt{3}$，
由勾股定理得，OA=$\sqrt{O{F}^{2}+A{F}^{2}}$=8，
∴菱形ABCO的周长为32；
（2）当t=4时，点M与对角线的交点F重合，则MA=4$\sqrt{3}$，
在Rt△AMB中，AB=8，点D为AB的中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴MA+MD=4$\sqrt{3}$+4；
（3）作点D关于x轴的对称点D′，连接AD′交x轴于点M，
则此时MA+MD的值最小，
由题意和菱形的性质可知，点D的坐标为（6，2$\sqrt{3}$），
则D′的坐标为（6，-2$\sqrt{3}$），
设直线AD′的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4\sqrt{3}}\\{6k+b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-3\sqrt{3}}\\{b=16\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则直线AD′的解析式为：y=-3$\sqrt{3}$x+16$\sqrt{3}$，
-3$\sqrt{3}$x+16$\sqrt{3}$=0，x=$\frac{16}{3}$，
点M的坐标为（$\frac{16}{3}$，0），即OM=$\frac{16}{3}$，
则当t=$\frac{16}{3}$时，MA+MD的值最小，
作D′E⊥AC于E，
由菱形的性质可知，D′为BC的中点，
∴D′E=2，EF=2$\sqrt{3}$，则AE=6$\sqrt{3}$，
在Rt△AED′中，AE=6$\sqrt{3}$，D′E=2，
AD′=$\sqrt{D′{E}^{2}+A{E}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
则MA+MD的最小值为4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是菱形的性质、勾股定理和轴对称-最短路径问题以及待定系数法求一次函数解析式，灵活应用待定系数法求函数解析式、掌握直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，作出对称点得到最短路径是解题的关键．