在平面直角坐标系中.已知顶点为P的抛物线C1的解析式是y=a(x-3)2．(1)求a的值,(2)如图1.将抛物线C1向下平移h个单位长度得到抛物线C2.过点M(0.m2)作直线l平行于x轴.与两抛物线从左到右分别相交于A.B.C.D四点.且A.C两点关于y轴对称．①点G在抛物线C1上.当m为何值时.四边形APCG是平行四边形?②如图2.若抛物线C1的对称轴与抛物线C2交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．在平面直角坐标系中，已知顶点为P的抛物线C₁的解析式是y=a（x-3）²（a＞0），且经过点（0，1）．

（1）求a的值；
（2）如图1，将抛物线C₁向下平移h（h＞0）个单位长度得到抛物线C₂，过点M（0，m²）（m＞0）作直线l平行于x轴，与两抛物线从左到右分别相交于A、B、C、D四点，且A、C两点关于y轴对称．
①点G在抛物线C₁上，当m为何值时，四边形APCG是平行四边形？
②如图2，若抛物线C₁的对称轴与抛物线C₂交于点Q，试证明：在M点的运动过程中，$\frac{MC}{PQ}$=$\frac{3}{4}$恒成立．

分析（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）首先得出△GQM≌△POM（ASA），进而得出点G在抛物线C₁上，得出2m²=$\frac{1}{9}$（-3-3）²，进而得出答案；
（3）利用函数对称性表示出A点坐标，再表示出MC，PQ的长，进而得出其比值．

解答（1）解：∵抛物线C₁的解析式是y=a（x-3）²（a≠0），经过点（0，1），
∴1=a（0-3）²，
解得：a=$\frac{1}{9}$．

（2）①解：∵A、C两点关于y轴对称，
∴点M为AC的中点，
若四边形APCG是平行四边形，则必有点M是PG的中点，
过点G作GQ⊥y轴于点Q，
在△GQM和△POM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GQM=∠POM}\\{QM=OM}\\{∠QMG=∠OMP}\end{array}\right.$，
∴△GQM≌△POM（ASA），
∴GQ=PO=3，MQ=OM=m²，OQ=2m²，
∴点G（-3，2m²），
∵顶点G在抛物线C₁上，
∴2m²=$\frac{1}{9}$（-3-3）²，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
又∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$，
∴当m=$\sqrt{2}$时，四边形APCG是平行四边形；

②证明：在抛物线y=$\frac{1}{9}$（x-3）²中，令y=m²，
解得：x=3±3m，
又∵m＞0，且点C在点B的右侧，
∴C（3+3m，m²），MC=3+3m，
∵A、C两点关于y轴对称，
∴A（-3-3m，m²），
∵将抛物线C₁向下平移h（h＞0）个单位得到抛物线C₂，
∴抛物线C₂的解析式为：y=$\frac{1}{9}$（x-3）²-h，
∴m²=$\frac{1}{9}$（-3-3m-3）²-h，
解得：h=4m+4，
∴PQ=4+4m，
∴$\frac{MC}{PQ}$=$\frac{3+3m}{4+4m}$=$\frac{3}{4}$．