Question

9．在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E是BC边上的一个动点．
（1）如图①，求AE的最小值；
（2）如图②，若F也是CD边上的一个动点，且BE=CF，求线段EF的最小值；
（3）若tan∠AEC=3$\sqrt{3}$，问是否在菱形内部存在一点，使得这一点分别到E点，C点、D点的距离相等，若存在，请你求出这个相等的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正弦的定义求出AE的最小值；
（2）过F作FM⊥EC交EC延长线于M，设BE=CF=2a，根据正弦、余弦的定义求出FM、CM，根据勾股定理列出算式，整理得到二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可；
（3）建立坐标系，根据待定系数法求出CD的解析式，得到线段CD的垂直平分线的解析式，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）当AE⊥BC时，AE最小，
AE=AB×sinB=3$\sqrt{3}$，
即AE的最小值为3$\sqrt{3}$；
（2）过F作FM⊥EC交EC延长线于M，
设BE=CF=2a，则EC=6-a
CM=FC×cos∠FCM=a，FM=FC×sin∠FCM=$\sqrt{3}$a，
∴EF²=（6-2a+a）²+（$\sqrt{3}$a）²=4a²-12a+36=4（x-$\frac{3}{2}$）²+27，
∴EF的最小值为$\sqrt{27}$=3$\sqrt{3}$；
（3）建立如图①所示坐标系．
则AO=3$\sqrt{3}$，
∵tan∠AEC=3$\sqrt{3}$，
∴OE=1，EC=OE+OC=1+3=4，
点C（3，0），D（6，3$\sqrt{3}$），A（0，3$\sqrt{3}$），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{6k+b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得，k=$\sqrt{3}$，b=-3$\sqrt{3}$，
∴直线CD的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
则线段CD的垂直平分线的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+3$\sqrt{3}$，
线段EC的垂直平分线为：x=1，
当x=1时，y=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$，
∴到E点，C点、D点的距离相等的点的坐标为（1，$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$），
这个距离为：$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{8}{3}\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{57}}}{3}$．

点评 本题考查的是菱形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理的应用，掌握菱形的性质定理、正确得到二次函数的解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键．