Question

17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；④S_△DEF=4$\sqrt{5}$，其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①正确．由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②正确．由 $\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③错误．由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，继而求得S_△DEF=4 $\sqrt{5}$．

解答 解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；
故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{5}$=3 $\sqrt{5}$，
∵△ADF∽△AED，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△AED}}$=（ $\frac{AF}{AD}$）²，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{3}{7}$，
∴S_△AED=7 $\sqrt{5}$，
∴S_△DEF=S_△AED-S_△ADF=4 $\sqrt{5}$；
故④正确．
故选C．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．