Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．
（1）求抛物线的函数的关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求△PAC的周长；
（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）连接BC，交直线l于点P，则此时△PAC的周长最小，先根据点B、C坐标求得直线BC的解析式，再结合直线l的解析式，求得点P的坐标，根据PA+PC+AC=PB+PC+AC=BC+AC，利用勾股定理即可得出答案；
（3）当△AOC∽△OMQ时，根据$\frac{AO}{OM}=\frac{OC}{MQ}$求得MQ的长度可得此时点Q的坐标；当△AOC∽△QMO时，根据$\frac{AO}{QM}=\frac{OC}{MO}$求得MQ的长度可得此时点Q的坐标，继而得出答案．

解答 解：（1）将点A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx+3，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3；

（2）如图，连接BC，交直线l于点P，则此时△PAC的周长最小，

∵y=-x²+2x+3中x=0时，y=3，
∴点C坐标为（0，3），
设BC所在直线解析式为y=kx+b，
将点B（3，0）、C（0，3）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
又直线l的解析式为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴直线l：x=1与直线BC：y=-x+3交点P的坐标为（1，2），
∵点A与点B关于直线l对称，
∴PA=PB，
则PA+PC+AC
=PB+PC+AC
=BC+AC
=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$
=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$，
即△PAC的周长为3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；

（3）存在，
如图2，

∵∠AOC=∠OMQ=90°，
∴当△AOC∽△OMQ时，$\frac{AO}{OM}=\frac{OC}{MQ}$，即$\frac{1}{1}$=$\frac{3}{MQ}$，
则MQ=3，
∴此时点Q的坐标为（1，3）或（1，-3）；
当△AOC∽△QMO时，$\frac{AO}{QM}=\frac{OC}{MO}$，即$\frac{1}{QM}$=$\frac{3}{1}$，
则MQ=$\frac{1}{3}$，
∴此时点Q的坐标为（1，$\frac{1}{3}$）或（1，-$\frac{1}{3}$）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（1，-3）或（1，$\frac{1}{3}$）或（1，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．