Question

5．如图①，已知A（x，0）在x负半轴上，B（0，y）在y正半轴上，且x、y满足$\sqrt{x+m}$+y²-2my+m²=0，m＞0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②过OA上一点作CD⊥AB于C点，E是BD的中点，连接CE、OE，试判断CE与OE的数量关系与位置关系，并说明理由；（提示：可延长OE至F，使OE=EF，连接CF、DF、OC）
（3）将（2）中的△ACD绕A旋转至D落在AB上（如图③），其它条件不变，（2）中结论是否成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由算术平方根的性质和偶次方的非负性质求出x=-m，y=m，得出OA=OB，即可得出结论；
（2）延长OE至F，使OE=EF，连接CF、DF、OC，由SAS证明△DEF≌△BEO，得出BO=DF，∠FDB=∠OBD，由SAS证明△OCA≌△FCD，得出OC=OF，∠OCA=∠FCD，进一步即可得出结论；
（3）延长OE至F，使OE=EF，连接CF、DF、OC，同（2）即可得出结论．

解答 解：（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：
∵A（x，0）在x负半轴上，B（0，y）在y正半轴上，且x、y满足$\sqrt{x+m}$+y²-2my+m²=0，m＞0，
∴$\sqrt{x+m}$+（y-m）²=0，x＜0，y＞0，
又∵x+m≥0，y-m≥0，
∴x+m=0，y-m=0，
∴x=-m，y=m，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形；            
（2）CE=OE，CE⊥OE．理由如下：
延长OE至F，使OE=EF，连接CF、DF、OC，如图②所示：
∵E是BD的中点，
∴DE=BE，
在△FDE和△OBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=BE}&{\;}\\{∠DEF=∠OEB}&{\;}\\{EF=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BEO（SAS），
∴BO=DF，∠FDB=∠OBD，
∴FD∥OB，
∴FD⊥AO，
∵∠BAO=45°，CD⊥AB
∴∠CDA=45°=∠CAO=∠CDF，∴CA=CD，∵OA=OB，∴OA=FD，
在△OCA和△FCD中$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}&{\;}\\{∠CAO=∠CDF}&{\;}\\{OA=FD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCA≌△FCD（SAS），
∴OC=OF，∠OCA=∠FCD
∴∠OCF=∠DCA=90°，
∴∠COF=45°，
又∵OE=EF，
∴∠OCE=∠OCF=45°，
∴∠COE=∠ECO=45°，∠CEO=90°，
∴CE=OE，CE⊥OE；                 
（3）（2）中的结论仍然成立．理由如下：
延长OE至F，使OE=EF，连接CF、DF、OC，如图③所示：
同（1）得：△DEF≌△BEO，
∴BO=DF，∠FDB=∠OBD
∴OA=FD，FD∥OB，
∴FD⊥AO，
∵∠BAO=45°，CD⊥AC，∠CDA=45°=∠CAD，
∴∠CAO=∠DCA=90°=∠FDC，CA=CD，
在△OCA和△FCD中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}&{\;}\\{∠CAO=∠DCA}&{\;}\\{OA=FD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCA≌△FCD（SAS），
∴OC=OF，∠OCA=∠FCD，
∴∠OCF=∠DCA=90°，
∴∠COF=45°，
又∵OE=EF，
∴∠OCE=∠OCF=45°
∴∠COE=∠ECO=45°，∠CEO=90°，
∴CE=OE，CE⊥OE；

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．