Question

如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求CD的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：根据题意做出辅助线连接OD，CD．
（1）由圆周角定理得∠BDC=90°，等腰三角形的三线合一性质推出∠ACD=∠BCD，根据等边对等角，由OC=OD，推出∠BCD=∠ODC，通过等量代换即可推出∠ODC=∠ACD，得出OD∥AC，根据平行线的性质得出DF⊥AC，从而推出EF与⊙O相切；
（2）由等腰三角形的三线合一性质AD=BD=

1

2

AB=6，然后根据勾股定理即可求得CD．

解答：解：如图，连接OD，CD，
（1）∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD，
∵OC=OD，
∴∠BCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠ACD，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD=

1

2

AB=6，
∴CD=

BC2-BD2

=

102-62

=8．

点评：本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的性质及平行线的性质等知识点，关键在于运用数形结合的思想，结合相关性质定理，正确的做出辅助线，推出OD∥AC，求得OD⊥EF．