Question

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点D出发沿线段DB向终点B运动．
（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；
（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒$\sqrt{5}$个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．

Answer 1

分析 （1）直接把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入抛物线y=ax²+bx+c求得a、b、c得出解析式，进一步求得顶点坐标即可；
（2）连接OH，则四边形HPOF是矩形，利用矩形的性质和垂线段最短求得答案即可；
（3）可用t分别表示出BE、BQ、EQ的长，然后分BE=BQ、BE=EQ、BQ=EQ三种情况，列方程求出t的值．

解答 解：（1）由题意得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-x²+2x+3，
顶点D为（1，4）；
（2）如图，
连接OH，
∵EF⊥y轴，HP⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴四边形HPOF是矩形，
∴PF=OH，
∴当OH最短时，PF最短，
∴OH⊥BC时，PF最短，
可得H的纵坐标为$\frac{3}{2}$，把y=$\frac{3}{2}$代入y=-x²+2x+3，
解得x=$\frac{{2±\sqrt{10}}}{2}$，x=$\frac{{2+\sqrt{10}}}{2}$（舍）
∴G点的坐标（$\frac{{2-\sqrt{10}}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
（3）存在3个t值能使△BEQ为等腰三角形，
如图，
DB=2$\sqrt{5}$，y_BD=-2x+6，设点E坐标为（t+1，4-2t），Q（3，t）
当BE=BQ时，2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t=t，
解得  t=$\frac{{5-\sqrt{5}}}{2}$；
当BE=EQ时（2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t）²=（t+1-3）²+（4-2t-t）²，解得$t=\frac{8}{5}$，
当BQ=EQ时t²=（t+1-3）²+（4-2t-t）²，解得$t=\frac{10}{9}$，
所以存在3个t值：t=$\frac{{5-\sqrt{5}}}{2}$．$t=\frac{8}{5}$，$t=\frac{10}{9}$．

点评 此题考查二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，垂线段最短，平面内两点之间的距离等知识的综合运用，注意分类讨论思想的渗透．