Question

18．关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果原方程的两根分别为x₁、x₂，且k²x₁²-4kx₁x₂+k²x₂²的值为12，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由二次项系数非零结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$、x₁•x₂=$\frac{1}{4}$，将其代入k²x₁²-4kx₁•x₂+k²x₂²=k²（x₁+x₂）²-2k²x₁•x₂-4kx₁•x₂=12中可得出关于k的一元二次方程，解之可得出k的值，再由（1）的结论可确定k值．

解答 解：（1）∵关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（k+2）^{2}-4×k×\frac{k}{4}＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＞-1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．
（2）∵原方程的两根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$．
∵k²x₁²-4kx₁•x₂+k²x₂²=k²（x₁+x₂）²-2k²x₁•x₂-4kx₁•x₂=12，
∴（k+2）²-$\frac{1}{2}$k²-k=12，
解得：k₁=-8，k₂=2．
∵k＞-1且k≠0，
∴k的值为2．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合k²x₁²-4kx₁x₂+k²x₂²=12，列出关于k的一元二次方程．