Question

16．近段时间共享单车风靡全国，从而刺激了自行车生产厂家，某厂家准备投入60万元生产A、B两种型号的共享单车．如果这60万元全部生产A型单车的数量比全部生产B型单车的数量少300辆，已知一辆A型单车的成本比一辆B型单车的成本多100元．
（1）求生产一辆A型单车和生产一辆B型单车的成本各为多少元？
（2）由于共享单车公司需求量加大，生产厂家必须再生产A、B两种型号的单车共10000辆，恰逢原料商对基本原料的价格进行调整．调整后，A型单车每辆成本价比原来降低10%，B型单车每辆的成本价比原来增加20%，如果厂家准备投人的总成本不超过471万元，那么至少要生产多少辆A型单车？
（3）在（2）的条件下，该生产厂家发现，销售过程中每辆A型单车可获利150元，每辆B型单车可获利180元，厂家如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）设生产一辆B型单车的成本为x元，则生产一辆A型单车的成本为（x+100）元，根据数量=总价÷单价结合60万元全部生产A型单车的数量比全部生产B型单车的数量少300辆，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设生产A型单车m辆，则生产B型单车（10000-m）辆，根据总成本=单辆成本×生产数量结合总成本不超过471万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）设该厂获得的总利润为y元，根据总利润=单辆利润×生产辆数，即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合m的取值范围，即可解决最值问题．

解答 解：（1）设生产一辆B型单车的成本为x元，则生产一辆A型单车的成本为（x+100）元，
根据题意得：$\frac{600000}{x}$-$\frac{600000}{x+100}$=300，
解得：x=400或x=-500（不合题意，舍去），
经检验，x=400是原分式方程的解，
∴x+100=500．
答：生产一辆B型单车的成本为400元，生产一辆A型单车的成本为500元．

（2）设生产A型单车m辆，则生产B型单车（10000-m）辆，
根据题意得：500×（1-10%）m+400×（1+20%）（10000-m）≤4710000，
解得：m≥3000．
答：至少要生产3000辆A型单车．

（3）设该厂获得的总利润为y元，
根据题意得：y=150m+180（10000-m）=1800000-30m，
∵-30＜0，
∴y值随m的增大而减小，
∴当m=3000时，y取最大值，此时y=1800000-30×3000=1710000．
答：生产3000辆A型单车、7000辆B型单车时，获得的利润最大，最大值为171万元．

点评 本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价列出关于x的分式方程：（2）根据总成本=单辆成本×生产数量结合总成本不超过471万元，列出关于m的一元一次不等式；（3）根据总利润=单辆利润×生产辆数，找出y关于m的函数关系式．